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容斥问题作为行测常考题型之一，相信各位备战的同学并不陌生。在容斥问题中有一种求容斥交集最小值的问题—这种问题也被称为容斥极值问题，该题选因为题型明晰、方法可操作性强一直可以成为各位同学拿分的必争之地。如何针对这一题型快速准确地选出答案?中公教育将带领大家以两种不同的容斥极值问题为例，一起学习容斥极值问题中两个重要的公式。

一、认识问题

【例1】某公司共80名职工，其中56名职工会法语,60名职工会德语，则两种语言都会的职工至少有( )人。

A.34 B.36 C.56 D.60

该例题中告诉了我们公司的总人数，同时告诉我们会法语的人数和会德语的人数，最后问我们两种语言都会的人至少有多少，也就是问我们两个集合交集的最小值。这种就是我们所说的容斥极值问题，而且题目中有两种集合，所以也被称为两者容斥极值问题

【例2】一个班48个人参加考试，语文及格的有36人，数学及格的有38人，英语及格的有40人，至少有多少人三门科目都及格?

A.12 B.14 C.16 D.18

该例题中告诉了我们参加考试的总人数，同时告诉我们语文及格的人数、数学及格的人数和英语及格的人数，最后问我们三门考试都及格的人至少有多少，也就是问我们三个集合交集的最小值。这种就是我们所说的容斥极值问题，而且题目中有三种集合，所以也被称为三者容斥极值问题

二、特征总结

结合上面两道例题，我想大家对于容斥极值问题的特征有了一定了解，在这里我们对题目特征进行一下系统总结，方便大家更好的与题目进行对应。

求解交集最小值的容斥极值问题题目特征：

已知集合总数，在题目给出各集合所包含数量之后，求解题目中所有集合交集最小值。

比如例1，告诉了我们公司的总人数，同时告诉我们会法语的人数和会德语的人数，最后问我们两种语言都会的人至少有多少;再比如例2，告诉了我们参加考试的总人数，同时告诉我们语文及格的人数、数学及格的人数和英语及格的人数，最后问我们三门考试都及格的人至少有多少。

三、公式透析

解决这类容斥极值问题，我们需要掌握对应的解题公式，具体如下：

二者容斥交集最小值：(A∩B)min= A+B-I;(其中A、B表示两个不同集合，A∩B表示A集合与B集合交集的部分，I表示全集)

三者容斥交集最小值：(A∩B∩C)min = A+B+C-2I;(其中A、B、C表示三个不同集合，A∩B∩C表示A集合、B集合、C集合三者交集的部分，I表示全集)

四、方法运用

对于两类公式具体的使用方法，我们结合上面的两道例题给大家看一下实际操作过程。

【例1】某公司共80名职工，其中56名职工会法语,60名职工会德语，则两种语言都会的职工至少有( )人。

A.34 B.36 C.56 D.60

【答案】B。解析：由题目条件可以将会法语的职工表示为集合A，会德语的职工表示为集合B，所求为两种语言都会的职工即A∩B最小值，利用公式(A∩B)min= A+B-I，所求最小值为56+60-80=36人，选择B项。

【例2】一个班48个人参加考试，语文及格的有36人，数学及格的有38人，英语及格的有40人，至少有多少人三门科目都及格?

A.12 B.14 C.16 D.18

【答案】D。解析：将语文及格的学生人数表示为集合A，数学及格的学生人数表示为集合B，英语及格的学生人数表示为集合C，题目所问至少有多少人三门科目都及格，即计算A∩B∩C最小值，根据公式(A∩B∩C)min = A+B+C-2I，三科及格的人数至少为36+38+40-2×48=18人。故本题选D。

四、方法总结

以上两个计算容斥极值问题的公式，形式上比较简单，但在使用中需要注意，对应好题目特征才能使用。如果题目中还给出其他限制条件时，需结合全集的计算公式进行分析。

通过以上两道题目的讲解，相信大家对代入公式解决这类容斥极值问题已经有了一定的了解。相信各位同学只要能够熟练掌握容斥极值的两个公式，以后再碰到这类问题一定能快速准确地选择出答案。同样需要提醒大家，在今后的备考过程中还需通过不断的做题来提升自己对公式的熟练程度，从而提高解题速度，同时掌握相应的解题技巧，提高备考效率。

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