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极值问题是行测数量关系中的一类重要考点，其中，一元二次函数求极值问题屡次考查，其常见的方法有公式法和均值不等式法。

一、公式法

1.基本理论

2.例题解析

【例1】某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元。旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行社每增加一人，每人的单价就降低10元。当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大的营业额?

A.50 B.55 C.60 D.65

【中公解析】B。根据题意得知营业额=人数×单价。可设旅行团人数为x人，营业额为y元，则列出一元二次函数：时，y取最大值。所以当旅行团人数为55人时，旅行社可以获得最大的营业额，故本题选B。

二、均值不等式法

利用均值不等式求解一元二次函数极值的核心理论为“和定，差小，积最大”。即两个自然数和一定，差值最小时，两数乘积取到最大值。

1、常考形式

(1)一元二次函数y=(x+5)(15-x)，(x+5)和(15-x)的和为x+5+15-x=20，此时和为定值，当(x+5)和(15-x)差值最小时，他们的乘积取到最大值。当两数相等时，差值最小，可得到x+5=15-x，x=5时，y取最大值。

(2)一元二次函数y=(5x+15)(9-x)，因为(5x+15)和(9-x)的和不是定值，所以需要将未知数前的系数变为相反数。整理函数可得，y=5(x+3)(9-x)，此时x+3+9-x=12，和为定值，当(x+3)和(9-x)相等时，差值最小，可得到x+3=9-x，x=3时，y取最大值。

(3)一元二次函数y=(x+8)(x-10)，因为(x+8)和(x-10)的和不是定值，所以需要将未知数前的系数变为相反数。整理函数可得，y=-(-x-8)(x-10)，此时-x+8+x+10=18，和为定值，当(-x-8)和(x-10)相等时，差值最小，可得到-x-8=x-10，x=1时，y有最大值。

2.例题解析

【例2】某商店出售A商品，若每天卖100件，则每件可获利6元。根据经验，若A商品每件涨1元钱，每天就少卖10件。为使每天获利最大化，A商品应提价：

A.6元 B.4元 C.2元 D.10元

【中公解析】C。根据题意得知每天总利润=单件利润×销量。可设当天提价x元，销量为100-10x件，总利润为y元。则有y=(6+x)(100-10x)=10(6+x)(10-x)，当6+x=10-x，即x=2时，y取最大值。所以A商品当天提价2元，选择C。

利用一元二次函数基本形式求极值时，应牢记公式法;利用均值不等式求极值时，应确保相乘的两个代数式中未知数的系数互为相反数。后续将为大家解锁更多方法，请持续关注。

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