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容斥极值是容斥问题的一种，在行测考试中偶有考查。若未提前学习，该题型将比较耗时。其实，容斥极值问题比较简单，今天，中公教育就带大家一起看看。

一、基础知识

容斥问题是研究集合间交叉关系的一类计数问题。考试常考三者容斥，对应公式如下：

公式一：I=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C-A∩B∩C+M

公式二：I=A+B+C-属两者的-2×属三者的+M

注：I，全集;A、B、C，三个集合;A∩B，A与B的交集;A∩C，A与C的交集;B∩C，B与C的交集;A∩B∩C，A、B、C三者的交集;M，既不属于A也不属于B还不属于C的部分。

二、例题

【例1】某高校有学生120名，现在的体育选修课有三种选择：篮球、乒乓球、羽毛球。已知选篮球的同学有55名，选乒乓球的有60名，选羽毛球的有47名，而同时选择篮球和乒乓球的有23名，同时选择篮球和羽毛球的有19名，同时选择乒乓球和羽毛球的有22名，问三种都不选的至少有多少名同学?

A.4 B.3 C.9 D.6

【中公答案】B。解析：设选三种课程的同学有x名，三种都不选的有y名，根据容斥原理可得，55+60+47-23-19-22+x+y=120，化简得x+y=22，即y=22-x。要使y尽量小，则x应该尽量大，选三种课程的同学尽可能多，由题目可知，x最大也只能取题干中两两交集的最小值，即同时选择篮球和羽毛球的19名，此时y=3，故三种都不选的至少有3名同学。故本题选B。

【例2】一个班级组织跑步比赛，共设100米、200米、400米三个项目。班级有50人，报名参加100米比赛的有27人，参加200米比赛的有25人，参加400米比赛的有21人。如果每个人最多只能报名参加2项比赛，那么该班最多有多少人未报名参赛?

A.11 B.12 C.13 D.14

【中公答案】C。解析：设报名参加2项比赛的有x人，未报名参赛的有y人，根据题意两两之间交叉部分均为报名参加2项比赛的人。由容斥原理可得27+25+21-x+y=50，整理得y=x-23，若求y最大，则需x尽可能大，即报名参加2项比赛的人尽可能多，那么就让所有人都尽可能报名参加2项比赛，x最大，为(27+25+21)/2=36.5，取最大整数为36，此时y=36-23=13，故本题选C。

通过以上两个例题可以发现，容斥极值问题，本质上需要我们结合容斥问题的基本公式构建等量关系，再进行极限讨论，从而得到我们想要的结果。随着大家越来越熟练，也可逐渐省略列式过程，加油!

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