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提到数量关系较为困难的题型，大家首先想到的是排列组合，想要学好排列组合就一定要深刻理解并熟练掌握分类分步思想。今天中公教育就带大家一起走进分类分步，掌握并击破这个难题。

一、分类分步地定义

分类分步思想是数学问题中解题的两种方式：1、分类就是将问题解决划分为几种不同的情况，对每种情况分别进行讨论，最后归纳总结，解决问题;2、分步就是将问题解决过程划分为几个步骤，依次实现过程中的每一个步骤，最后使问题得以解决。

二、核心点

分类：每一类均能独立完成题干要求;

分步：每一步均不能独立完成题干要求，每步按顺次完成后才能完成题干要求。

三、解题原理

1.加法原理：即分类计数，通过不同的途径方式达到最终的目的。(做一件事情，完成它有N类方式，第一类方式有M1种方法，第二类方式有M2种方法……第n类方式有Mn种方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+Mn种方法。)

2.乘法原理：即分步计数，通过多个步骤的结合达到最终的目的。(做一件事，完成它需要分成n个步骤，先做第一步有M1种不同的方法，再做第二步有M2不同的方法……最后做第n步有Mn不同的方法。那么完成这件事共有M1×M2×……×Mn种不同的方法。)

四、例题精讲

(一)分类计数

例1.随着国庆节假期结束，许多返乡的人员纷纷踏上打工之路。由于张发错过假期免高速过路费，下高速时只能自行缴费，恰巧张发身上带有现金245元，其中6张1元、2张2元、3张5元、2张10元、2张50元、1张100元，现在过路费总计为167元，若用现金支付且不找零的情况下，张发有多少种不同的付款方式?

A.6种 B.7种 C.8种 D.9种

【答案】C.解析：由题意可知本题需要刚好支付167元不找零，即我们需要用张发身上的现金组合出167元，具体要拿哪些零钱并没有明确要求，比如可以拿1张100元、1张50元、1张10元、1张5元和2张1元组合或者其他情况，我们能通过不同的途径达到最终的目的，显然这就是一个分类讨论的过程了，我们只需要讨论出哪些情况能组合出167元即可，首先总共有245元，需要花费167元，由题干条件可知50元以下面额之和为245-100-50×2=45元，要凑出167元，100元和50元面额至少需要组合出167-45=122元，则必须拿出1张100元和1张50元。此时只需要从50元以下面额中组合出17元即可。可列表分析如下：

总共8种情况，答案选C。

(二)分步计数

例2.耀华中学计划开展教师篮球比赛，总共6支参赛队伍平均分派到上午组和下午组比赛，其中A和B队均来自高中教师队伍，不能分在同一组，故分组情况共有多少种可能?

A.6种 B.8种 C.10种 D.12种

【答案】D.解析：由题意可知，需要将6支参赛队伍平均分派到上午组和下午组，即上午组和下午组各三支队伍，同时本题有一个要求A队和B队不能在同一组，因此我们可分步完成分组。第一步先不考虑A队和B队，还剩下6-2=4支队伍，则我们可先选出2支队伍与A队组成一组，其余2支队伍与B队组成一组，;第二步再考虑上下午分组情况，可能A队在上午组、B队在下午组，或者A队在下午组，B队在上午组，这里还有2种情况，属于分步计数采用乘法原理，总情况数共有6×2=12种，选D。

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