例1

3个空啤酒瓶可以免费换一瓶啤酒，现有32个啤酒空瓶，请问最多可以免费喝多少啤酒?

A.13 B.14 C.15 D.16

【答案】D。常规解析：很多同学拿到这类题目，往往就是一步一步地去换：

第一步：32个空瓶可以拿出30个空瓶来换10瓶啤酒，还剩2个空瓶;

第二步：把这10瓶啤酒喝掉可以得到10个空瓶，那么就一共有12个空瓶，再拿去换4瓶啤酒;

第三步：把这4瓶啤酒喝掉可以得到4个空瓶，拿出3个空瓶换1瓶啤酒，这时还剩下1个空瓶;

第四步：把这1瓶啤酒喝掉可以得到1个空瓶，一共就有了2个空瓶。2个空瓶看似不够换一瓶，但实则我们可以借1个空瓶过来，凑够3个空瓶，换得1瓶啤酒喝掉后再把借来的这1个瓶子还掉就可以了。

这样一共可以免费喝10+4+1+1=16瓶，故选择D选项。

但这个方法非常浪费时间，而且最后这个瓶子是需要借的，很多同学想不到这点。所以中公教育为大家带来一种更快解题的方法：

中公解析：根据题意3个空瓶=1瓶啤酒，我们可以把这1瓶啤酒看成1个空瓶加1份酒，得到3个空瓶=1个空瓶+1份酒，那么等式两边的1个空瓶可以消掉，变成2个空瓶=1份酒，也就是有2个空瓶就可以喝1份酒，那么32个空瓶就可以喝32÷2=16瓶酒，故选择D项。

【模型特征】：已知兑换规则及空瓶数，求最多能喝到的瓶数。

【基本公式】：假设n个空瓶可以换一瓶水，那么m个空瓶最多可以喝到m÷(n-1)瓶水。

例2

某啤酒开展“12个空瓶换1瓶啤酒”的大型促销活动，小张和他朋友在活动期间共喝了245瓶啤酒，那么他们至少需要买多少瓶啤酒?

A.223 B.224 C.225 D.226

【答案】C。中公解析：根据题意小张和他朋友喝的245瓶啤酒包括了花钱买的和通过兑换得到这两部分。因此这道题本质上还是空瓶换水的思路：将一瓶啤酒看成1个空瓶+1份酒，所以根据兑换规则得到12空瓶=1空瓶+1份酒，也就是11空瓶=1份酒，设买了x瓶水，可得：解得想x≈224.6，因为x为正整数且最少为224.6，所以n向上取整为225，故选择C项。

通过这道题可以得到空瓶换水问题的变形总结：已知兑换规则及喝到的水数，求至少买多少瓶。这类题目只需要利用兑换规则列方程求解即可。值得注意的是当未知数解出来为非整数时，记得取整。